Question

11．如图，直线y=kx+2k-1与抛物线y=kx²-2kx-4（k＞0）相交于A，B两点，抛物线的顶点为P．
（1）抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-k-4）（用含k的代数式表示）．
（2）无论k取何值，抛物线总经过定点，这样的定点有几个？试写出所有定点的坐标，是否存在这样一个定点C，使直线PC与直线y=kx+2k-1平行？如果不存在，请说明理由；如果存在，求当直线y=kx+2k-1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时，直线PC的解析式．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$可求得抛物线的对称轴方程，接下来，将x=1代入抛物线的解析式可求得顶点的纵坐标；
（2）当x=0时，可得到y=-4，故此抛物线与y轴的交点坐标不变，然后依据抛物线的对称性可求得抛物线经过定点（2，-4）；由点C为抛物线上的顶点可知C（0，-4）或C（2，-4），然后PC∥AB可得到点C的坐标为（2，4），设直线PC的解析式为y=ax+b．将点C和点P的坐标代入可求得a=k，故此直线PC与直线y=kx+2k-1平行，将x=1代入y=kx+2k-1求得点Q的纵坐标为3k-1，然后依据关于x轴对称两点的纵坐标互为相反数得到关于k的方程，从而可求得k的值，于是得到直线PC的解析式．

解答 解：（1）∵由x=-$\frac{b}{2a}$可知x=-$\frac{-2k}{2k}$=1，
∴抛物线的对称轴为x=1．
∵将x=1代入得y=-k-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-k-4）．
故答案为：x=1，（1，-k-4）．
（2）存在两个定点．
∵x=0时，y=-4，
∴抛物线经过定点（0，-4）．
∵抛物线经过定点（0，-4），抛物线的对称轴为x=1，
∴抛物线经过定点（2，-4）．
∵C为抛物线上的定点，
∴C（0，-4）或C（2，-4）．
∵当C的坐标为（0，-4）时，直线PC的一次项系数小于0，直线AB的一次项系数k＞0，
∴PC与AB不平行．
当C的坐标为（2，-4）时．设直线PC的解析式为y=ax+b．
将点C和点P的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-k-4}\\{2a+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：b=-2k-4，a=k．
∴直线PC与直线y=kx+2k-1平行．
∵当x=1时，直线y=kx+2k-1的函数值y=3k-1，
∴Q（1，3k-1）．
∵点Q与点P关于x轴对称可得3k-1=k+4，
解得：k=$\frac{5}{2}$．
∴直线PC的解析式为y=$\frac{5}{2}$x-9．

点评 本题主要考查的是二次函数与一次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的对称轴方程，二次函数与坐标轴的交点坐标、关于坐标轴对称的点的坐标特点，得到PC经过的定点C的坐标是解题的关键．