Question

10．阅读下文，寻找规律：
已知x≠1时，（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）填空：（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴）=1-x⁵．
（2）观察上式，并猜想：
①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=x¹¹-1．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶．
②1+3+3²+3³+3⁴…3²⁰¹⁶=$\frac{{{3^{2017}}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据规律即可得到结论；
（2）根据规律即可得到结论；
（3）①先设S=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵，再将等式的两边同时乘以2，将两式相减即可；②首先根据已知设S=1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶，①再将其两边同乘3得到关系式②，②-①即可求得答案．

解答 解：（1）（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴）=1-x⁵．
故答案为：1+x+x²+x³+x⁴；
（2）①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=x¹¹-1；
故答案为：1-xⁿ⁺¹；x¹¹-1；
（3）①解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵①，
将等式两边同时乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶②，
②-①得，2S-S=2⁶-1，即S=2⁶-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=2⁶-1．
设S=1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶，①
①×3得3S=3+3²+3³+3…3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁷，②
②-①得：2s=3²⁰¹⁷-1，S=$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．
故答案为：2⁶-1，$\frac{{{3^{2017}}-1}}{2}$．

点评 本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．