Question

3．已知a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根．
①求a²-4a+2013的值；     
②化简求值$\frac{{1-2a+{a^2}}}{a-1}$-$\frac{{\sqrt{{a^2}-2a+1}}}{{{a^2}-a}}$-$\frac{1}{a}$．

Answer 1

分析 ①由于a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，所以a²-4a+1=0，从而可求出原式的值．
②求出a的值，然后比较a-1与0的大小关系，最后化简原式即可求出答案．

解答 解：①∵a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
∴a²-4a+1=0，
∴a²-4a+2013=-1+2013=2012
②∵x²-4x+1=0，
∴（x-2）²=3
∴x=2±$\sqrt{3}$
∴a=2-$\sqrt{3}$
∴a-1＜0
原式=$\frac{（1-a）^{2}}{a-1}$•$\frac{\sqrt{（a-1）^{2}}}{a（a-1）}$-$\frac{1}{a}$
=（a-1）•$\frac{|a-1|}{a（a-1）}$-$\frac{1}{a}$
=$\frac{|a-1|}{a}$-$\frac{1}{a}$
=$\frac{-（a-1）}{a}$-$\frac{1}{a}$
=$\frac{-a+1-1}{a}$
=-1

点评 本题考查学生的计算能力，涉及一元二次方程的解、分式的运算以及二次根式的运算，本题属于中等题型．