Question

16．两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：
（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD，请直接写出S_△ABC与S_{四边形AFBD}的关系；
（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，四边形AFBD是什么特殊四边形？请给出证明；
（3）当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，猜想△ABC应满足什么条件？请直接写出结论：在此条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请在图3位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质以及三角形面积关系得出答案；
（2）证出AD=BF，由平移可知AD∥BF，利用平行四边形的判定得出四边形AFBD为平行四边形即可；
（3）根据题意画出图形，由等腰三角形的性质得出AF⊥BC，证出平行四边形AFBD为矩形，由直角三角形斜边上的中线性质得出AF=$\frac{1}{2}$BC=BF，得出四边形AFBD是正方形；设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理求出CG，利用sin∠CGF=$\frac{CF}{CG}$求出即可．

解答 解：（1）S_△ABC=S_{四边形AFBD}，理由如下：
由题意可得：AD∥EC，
则S_△ADF=S_△ABD，
故S_△ACF=S_△ADF=S_△ABD，
则S_△ABC=S_{四边形AFBD}；

（2）当点F平移到线段BC的中点时，四边形AFBD是平行四边形，理由如下：
∵F为BC的中点，
∴CF=BF，
∵CF=AD，
∴AD=BF，由平移可知AD∥BF，
∴四边形AFBD为平行四边形；

（3）如图3所示：△ABC为等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°；理由如下：
由（2）得：四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴平行四边形AFBD为矩形，
∵∠BAC=90°，F为BC的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC=BF，
∴四边形AFBD是正方形；
设CF=k，则GF=EF=CB=2k，
由勾股定理得：CG=$\sqrt{C{F}^{2}+G{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$k，
sin∠CGF=$\frac{CF}{CG}$=$\frac{k}{\sqrt{5}k}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题是四边形综合题目，考查了正方形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、以及等腰直角三角形的性质和锐角三角函数关系等知识；本题综合性强，有一定难度．