Question

某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在x天销售的相关信息如表所示．

销售量p（件）	p=50-x
销售单价q（元/件）	当1≤x≤20时，q=30+ 1 2 x 当21≤x≤40时，q=20+ 525 x

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？

Answer 1

（1）当1≤x≤20时，令30+

1

2

x=35，得x=10，
当21≤x≤40时，令20+

525

x

=35，得x=35，经检验得x=35是原方程的解且符合题意
即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．

（2）当1≤x≤20时，y=（30+

1

2

x-20）（50-x）=-

1

2

x²+15x+500，
当21≤x≤40时，y=（20+

525

x

-20）（50-x）=

26250

x

-525，
即y=

- 1 2 x2+15x+500(1≤x≤20) 26250 x -525(21≤x≤40)

，

（3）当1≤x≤20时，y=-

1

2

x²+15x+500=-

1

2

（x-15）²+612.5，
∵-

1

2

＜0，
∴当x=15时，y有最大值y₁，且y₁=612.5，
当21≤x≤40时，∵26250＞0，
∴

26250

x

随x的增大而减小，
当x=21时，

26250

x

最大，
于是，x=21时，y=

26250

x

-525有最大值y₂，且y₂=

26250

21

-525=725，
∵y₁＜y₂，
∴这40天中第21天时该网站获得利润最大，最大利润为725元．