Question

（2013•徐州模拟）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理即可得到四边形EFCD的四边相等，即可证得；
（2）连接DF，与EC相交于点G，△EFC是等边三角形，则△EFG是直角三角形，利用三角函数即可求得GF的长，根据DF=2GF即可求得．

解答：（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形
∴AB=AC=BC，ED=DC=EC
∵点E、F分别为AC、BC的中点
∴EF=

1

2

AB，EC=

1

2

AC，FC=

1

2

BC
∴EF=EC=FC
∴EF=FC=ED=DC，
∴四边形EFCD是菱形．

（2）解：连接DF，与EC相交于点G，
∵四边形EFCD是菱形
∴DF⊥EC，垂足为G  
∵EF=

1

2

AB=4，EF∥AB
∴∠FEG=∠A=60°
在Rt△EFG中，∠EGF=90°
∴DF=2FG=2×4sin∠FEC=8sin60°=4

3

．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，理解三角形的中位线定理是关键．