【题目】已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=4,另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处,CP=CQ=2,将三角板CPQ绕点C旋转(保持点P在△ABC内部),连接AP、BP、BQ.
(1)如图1求证:AP=BQ;
(2)如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时,求AP的长;
(3)设射线AP与射线BQ相交于点E,连接EC,写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系.
【答案】(1)证明见解析(2) (3)EP+EQ= EC
【解析】
(1)由题意可得:∠ACP=∠BCQ,即可证△ACP≌△BCQ,可得 AP=CQ;
作 CH⊥PQ 于 H,由题意可求 PQ=2 ,可得 CH=,根据勾股定理可求
AH= ,即可求 AP 的长;
作 CM⊥BQ 于 M,CN⊥EP 于 N,设 BC 交 AE 于 O,由题意可证△CNP≌△ CMQ,可得 CN=CM,QM=PN,即可证 Rt△CEM≌Rt△CEN,EN=EM,∠CEM=
∠CEN=45°,则可求得 EP、EQ、EC 之间的数量关系.
解:(1)如图 1 中,∵∠ACB=∠PCQ=90°,
∴∠ACP=∠BCQ 且 AC=BC,CP=CQ
∴△ACP≌△BCQ(SAS)
∴PA=BQ
如图 2 中,作 CH⊥PQ 于 H
∵A、P、Q 共线,PC=2,
∴PQ=2,
∵PC=CQ,CH⊥PQ
∴CH=PH=
在 Rt△ACH 中,AH==
∴PA=AH﹣PH= -
解:结论:EP+EQ= EC
理由:如图 3 中,作 CM⊥BQ 于 M,CN⊥EP 于 N,设 BC 交 AE 于 O.
∵△ACP≌△BCQ,
∴∠CAO=∠OBE,
∵∠AOC=∠BOE,
∴∠OEB=∠ACO=90°,
∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°,
∴∠MCN=∠PCQ=90°,
∴∠PCN=∠QCM,
∵PC=CQ,∠CNP=∠M=90°,
∴△CNP≌△CMQ(AAS),
∴CN=CM,QM=PN,
∴CE=CE,
∴Rt△CEM≌Rt△CEN(HL),
∴EN=EM,∠CEM=∠CEN=45°
∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN,EC=EN,
∴EP+EQ=EC
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【题目】如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为( )
A. (A) B. (B) C. (C) D. (D)
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,且∠ABC=60°,D为△ABC内一点 ,且DA=DB,E为△ABC外一点,BE=AB,且∠EBD=∠CBD,连DE,CE. 下列结论:①∠DAC=∠DBC;②BE⊥AC ;③∠DEB=30°. 其中正确的是( )
A.①...B.①③...C.② ...D.①②③
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【题目】在等边△ABC中.
(1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;
(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.
①依题意将图2补全;
②求证:PA=PM.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3经过点 B(﹣1,0),C(2,3),抛物线与y轴的焦点A,与x轴的另一个焦点为D,点M为线段AD上的一动点,设点M的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式;
(2)过点M作y轴的平行线,交抛物线于点P,设线段PM的长为1,当t为何值时,1的长最大,并求最大值;(先根据题目画图,再计算)
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,△PAD的面积最大?并求最大值;
(4)在(2)的条件下,是否存在点P,使△PAD为直角三角形?若存在,直接写出t的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,过点B作⊙O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作⊙O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.
(1)求证:△ACF∽△DAE;
(2)若S△AOC=,求DE的长;
(3)连接EF,求证:EF是⊙O的切线.
【答案】(1) 见解析; (2)3 ;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据圆周角定理得到∠BAC=90°,根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°,∠DBC=90°,于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论;
(2)根据S△AOC=,得到S△ACF=,通过△ACF∽△DAE,求得S△DAE=,过A作AH⊥DE于H,解直角三角形得到AH=DH=DE,由三角形的面积公式列方程即可得到结论;
(3)根据全等三角形的性质得到OE=OF,根据等腰三角形的性质得到∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,于是得到∠AFO=∠GFO,过O作OG⊥EF于G,根据全等三角形的性质得到OG=OA,即可得到结论.
试题解析:(1)证明:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,∵∠ABC=30°,∴∠ACB=60°
∵OA=OC,∴∠AOC=60°,∵AF是⊙O的切线,∴∠OAF=90°,∴∠AFC=30°,∵DE是⊙O的切线,∴∠DBC=90°,∴∠D=∠AFC=30,∵∠DAE=ACF=120°,∴△ACF∽△DAE;
(2)∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°,∴∠CAF=30°,∴∠CAF=∠AFC,∴AC=CF,∴OC=CF,∵S△AOC=,∴S△ACF=,∵∠ABC=∠AFC=30°,∴AB=AF,∵AB=BD,∴AF=BD,∴∠BAE=∠BEA=30°,∴AB=BE=AF,∴,∵△ACF∽△DAE,∴=,∴S△DAE=,过A作AH⊥DE于H,∴AH=DH=DE,∴S△ADE=DEAH=×=,∴DE=;
(3)∵∠EOF=∠AOB=120°,∴∠OEB=∠AFO,在△AOF与△BOE中,∵∠OBE=∠OAF,∠OEB=∠AFO,OA=OB,∴△AOF≌△BEO,∴OE=OF,∴∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,∴∠AFO=∠GFO,过O作OG⊥EF于G,∴∠OAF=∠OGF=90°,在△AOF与△OGF中,∵∠OAF=∠OGF,∠AFO=∠GFO,OF=OF,∴△AOF≌△GOF,∴OG=OA,∴EF是⊙O的切线.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(2,0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连结BD,作DE⊥DB,交x轴于点E,以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.
(1)填空:点B的坐标为 ;
(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;
(3)①求证:;
②设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论),并求出y的最小值.
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【题目】如图,已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、.若点的坐标为,点的坐标为,
圆弧所在圆的圆心点的坐标为________
点是否在经过点、、三点的抛物线上;
在的条件下,求证:直线是的切线.
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