Question

9．如图，已知直线l：$y=\sqrt{3}x+3$与x轴、y轴交于A、B两点，将直线l向下平移m个单位长度后得直线l₁，直线l₁与x轴、y轴分别交于C、D两点，将△COD绕点O沿逆时针方向旋转60°后得到△C′O′D′．若△AOB≌△COD：
（1）m的值是6；直线l₁的函数表达式是y=$\sqrt{3}$x-3；
（2）求证：l₁垂直平分OD′．

Answer 1

分析 （1）由直线l解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，得出OA与OB的长，由三角形AOB与三角形COD全等，求出OC与OD的长，确定出C与D坐标，设直线l₁的解析式为y=kx+b，把C与D坐标代入求出k与b的值，确定出直线l₁的解析式，利用平移规律求出m的值即可；
（2）连接OD′，由平移的性质得到l∥l₁，利用两直线平行得到一对内错角相等，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出∠ABO的度数，即为∠ODE的度数，由旋转的性质得到∠DOE=60°，OD=OD′，进而得出∠OED为直角，即l₁垂直OD′，三角形ODD′为等边三角形，利用三线合一得到E为OD′中点，得证．

解答 （1）解：直线l：y=$\sqrt{3}$x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=-$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，3），即OA=$\sqrt{3}$，OB=3，
∵△AOB≌△COD，
∴OC=OA=$\sqrt{3}$，OD=OB=3，
∴C（$\sqrt{3}$，0），D（0，-3），
设直线l₁的解析式为y=kx+b，
把C与D坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线l₁的解析式为y=$\sqrt{3}$x-3，
则直线l向下平移6个单位长度后得直线l₁；
故答案为：6；y=$\sqrt{3}$x-3；

（2）证明：连接DD′，
由平移得l∥l₁，可得∠ABO=∠ODC，
在Rt△AOB中，OA=$\sqrt{3}$，OB=3，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即∠ABO=30°，
∴∠ODC=∠ABO=30°，
∴∠OED=90°，即l₁⊥OD′，
∵∠DOD′=60°，OD=OD′，
∴△ODD′为等边三角形，
∴E为OD′的中点，
则l₁垂直平分OD′．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，平移与旋转性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．