Question

19．已知抛物线y=ax²+x+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）△ABC的外接圆与抛物线的另一交点为E，直接写出E点的坐标；
（3）记△ABC得外接圆圆心为M，求圆心M的坐标；
（4）在x轴上有一点P，且∠EBO+∠MPO=α，当tanα=3时，求OP的长．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（2，0）两点代入抛物线y=ax²+x+c（a≠0）求出a，c的值，再求出其顶点坐标即可；
（2）根据抛物线的对称性可得△ABC的外接圆与抛物线的另一交点E的坐标；
（3）由题意M在线段AB的垂直平分线上，即抛物线对称轴上，设M（$\frac{1}{2}$，m），由MC=MA得关于m的方程，解方程即可求解；
（4）作EH⊥AB于H，延长HE至F点使FH=3，则tan∠FBH=3，等量关系可得∠α=∠FBH，∠MPO=∠FBE，作EG⊥FB，△FEG∽△FBH，可得EG=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，FG=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，作MN⊥OB于N，在Rt△MPN中，MN=$\frac{1}{2}$，可得NP=$\frac{7}{2}$，进一步可求OP=$\frac{1}{2}$±$\frac{7}{2}$=4或-3．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+x+c（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1+c=0}\\{4a+2+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线为y=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴顶点D（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）；
（2）E点的坐标为（1，2）；

（3）由题意M在线段AB的垂直平分线上，即抛物线对称轴上，
设M（$\frac{1}{2}$，m），
由MC=MA得（$\frac{3}{2}$）²+m²=（$\frac{1}{2}$）²+（2-m）²，
解得m=$\frac{1}{2}$，
∴M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（4）作EH⊥AB于H，延长HE至F点使FH=3，
则tan∠FBH=3，
∴∠α=∠FBH，∠MPO=∠FBE，
作EG⊥FB，△FEG∽△FBH，
得EG=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，FG=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴BG=$\frac{7\sqrt{10}}{10}$，
∴tan∠FBE=$\frac{1}{7}$，
∴tan∠MPO=$\frac{1}{7}$，
作MN⊥OB于N，在Rt△MPN中，MN=$\frac{1}{2}$，
∴NP=$\frac{7}{2}$，
∴OP=$\frac{1}{2}$±$\frac{7}{2}$=4或-3．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、锐角三角函数的定义及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，难度较大．