Question

如图1，在△ABC中，E为对角线AB上一点，以AE为一边作正方形AEFH，点F在AC上，连接BF，G为BF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图1中正方形AEFH绕A点逆时针旋转45°，如图2所示，取BF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图1中正方形AEFH绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）结论仍然成立，延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，再证明△DCG≌△FMG．得出EF⊥MF；再证出△MFE≌△CBE得到MG=CG；再证明△AMG≌△ENG，最后证出CG=EG．
（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．

解答：（1）证明：在Rt△FCB中，
∵G为BF的中点，
∴CG=

1

2

FB，
同理，在Rt△BEF中，
EG=

1

2

FB，
∴CG=EG．

解：（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG
延长CG至M，使MG=CG，
连接MF，ME，EC，
在△BCG与△FMG中，
∵FG=BG，∠MGF=∠CGB，MG=CG，
∴△BCG≌△FMG．
∴MF=CB，∠FMG=∠BCG，
∴MF∥CB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE与Rt△CAE中，
∵MF=CA，EF=AE，
∴△MFE≌△CAE
∴∠MEF=∠CEA．
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEA+∠CEF=90°，
∴△MEC为直角三角形．
∵MG=CG，
∴EG=

1

2

MC，
∴EG=CG．

（3）（1）中的结论仍然成立．
即EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG．

点评：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质等知识，利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．