Question

6．如图①，在边长为6cm的等边三角形ABC的三边上，有三个动点D，E，F（不考虑与A，B，C重合），点D从A向B运动，点E从B向C运动，点F从C向A运动，三点同时运动，到终点结束，且速度均为1cm/s．设运动的时间为t s，解答下列问题：
（1）求证：如图①，不论t如何变化，△DEF始终为等边三角形．
（2）如图①，记△DEF的面积为y（cm²），求y与t的函数关系式．并求当t取何值时，y最小，最小值为多少？
（3）如图②，建立平面直角坐标系，过点E作直线EQ∥AB，交AC于点Q，当直线EQ运动到何处时，能使△AEQ的面积最大？求出这个最大值和此时点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC为等边三角形，以及AD=BE=CF，进而得出三角形ADF与三角形CFE与三角形BED全等，利用全等三角形对应边相等得到BF=DF=DE，即可得证；
（2）作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H，表示出AH与DG，进而表示出三角形ABC与三角形BED面积，由三角形ABC面积减去3个三角形BED面积表示出y与t的函数解析式，利用二次函数性质求出y的最小值，以及此时t的值；
（3）由（2）表示出三角形AEC面积，根据EQ与AB平行，得到三角形CEQ与三角形ABC相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方表示出三角形CEQ面积，进而表示出AEQ面积，利用二次函数的性质求出面积最大值，并求出此时Q的坐标即可．

解答 （1）证明：在等边三角形ABC中，AB=BC=AC=6，∠A=∠B=∠C=60°，
由题意知，当0＜t＜6时，AD=BE=CF=t，
∴BD=CE=AF=6-t，
∴△ADF≌△CFE≌△BED（SAS），
∴EF=DF=DE，
∴△DEF是等边三角形，
∴不论t如何变化，△DEF始终为等边三角形；
（2）解：作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H，则AH=AB•sin60°=3$\sqrt{3}$，DG=BD•sin60°=$\frac{\sqrt{3}（6-t）}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，S_△BED=$\frac{1}{2}$BE•DG=$\frac{1}{2}$t•$\frac{\sqrt{3}（6-t）}{2}$=$\frac{\sqrt{3}t（6-t）}{4}$，
由（1）知△ADF≌△CFE≌△BED，
∴y=S_△ABC-3S_△BED=9$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}t（6-t）}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t²-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$t+9$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（t-3）²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∵a=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$＞0，∴抛物线开口向上，有最小值，
∴当t=3时，y最小，y_最小=$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$cm²．
（3）解：由（2）知，AH=3$\sqrt{3}$，
∴S_△AEC=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×（6-t）=$\frac{3\sqrt{3}（6-t）}{2}$，
∵EQ∥AB，
∴△CEQ∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△CEQ}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{CE}{CB}$）²=$\frac{（6-t）^{2}}{36}$，即S_△CEQ=$\frac{（6-t）^{2}}{36}$S_△ABC=$\frac{（6-t）^{2}}{36}$×9$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}（6-t）^{2}}{4}$，
∴S_△AEQ=S_△AEC-S_△CEQ=$\frac{3\sqrt{3}（6-t）}{2}$-$\frac{\sqrt{3}（6-t）^{2}}{4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t-3）²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∵a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴当t=3时，△AEQ的面积最大为$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$cm²，
此时E点为BC的中点，线段EQ为△ABC的中位线，作QK⊥BC于K，如图，
∴EQ=$\frac{1}{2}$AB=3，
在Rt△EQK中，∠QEK=60°，
∴QK=EQ•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，EK=EQ•cos60°=$\frac{3}{2}$，即BK=BE+EK=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴Q坐标为（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

点评 此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等边三角形的判定与性质，坐标与图形性质，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．