Question

某校举办奥运知识竞赛，设一、二、三等奖共30名，其中一等奖5名，奖品发放方案如下表：

一等奖	二等奖	三等奖
1个篮球和1个水杯	1个篮球	1个水杯

已知1个篮球100元，1个水杯10元，用于购买奖品的总费用不少于1900元，但不超过2200元．
（1）若二等奖设置x名，则三等奖应设置______名，购买奖品的总费用为______元（以上空格均用含x的代数式表示）．
（2）在第（1）小题基础上，请计算学校应分别设置二等奖、三等奖各多少名？
（3）若使学校购买奖品的总费用最低，应分别设置二等奖、三等奖各多少名？

Answer 1

解：（1）根据一、二、三等奖共30名，一等奖有5名，二等奖x名，
则三等奖为：30-5-x=25-x；
购买奖品的总费用为（100+10）×5+100x+10×（25-x）=90x+800；

（2）由题意得：1900≤90x+800≤2200，
可变为：，
解得：12≤x≤15，
∵x为正整数
∴x₁=13，x₂=14x₃=15，
答：设二等奖13名，三等奖12名；二等奖14名，三等奖11名；二等奖15名，
三等奖10名．

（3）设学校购买奖品总费用为y元，
则y=90x+800，
∵k=90＞0
∴y随x增大而增大，
∴当x=13时，y 值最小，
即当学校设置二等奖13名，三等奖12名时购买奖品的总费用最低．
故答案为：25-x，90x+800．
分析：（1）首先根据一、二、三等奖共30名，一等奖5名，二等奖x名，即可得出三等奖设置的人数，再根据设置的人数和奖品的钱数，即可得出奖品的总费．
（2）二等奖x名，则三等奖25-x名，根据不等关系“总费用不少于1900元但不超22600元”可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可．
（3）先设学校购买奖品总费用为y元，根据题意列出式子，再根据函数的性质即可求出y取最小时x的值．
点评：此题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组或不等式组，再求解．