Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，①图中与∠BCE相等的角有4个，②图中等腰三角形有5个，③四边形OADE是轴对称图形，④AC•CE=DC•BC，⑤DE²=DC•DB．则上述结论中正确的个数为

1. A.
   2个
2. B.
   3个
3. C.
   4个
4. D.
   5 个

Answer 1

C
分析：由AD=DE得弧AD=弧DE，根据圆周角定理得∠DBA=∠DAE，而∠BCE=∠DCA=∠CBA+∠CAB，则∠DAO=∠BCE，易证△OAD≌△ODE，则∠DEO=∠EDO=∠ADO=∠DAO，可判断①不正确；易得△DAE，△OAE，△OAD，△ODE，△OBE都是等腰三角形，可判断②正确；由于四边形OADE由两个全等的△OA、△ODE组成，且有公共边OD，可判断③正确；根据相似三角形的判定易证△CDA∽△CEB，△DCE∽△DEB，利用相似的性质可得到CD：CE=CA：CB，DE：DB=DC：DE，即可对④⑤进行判断．
解答：∵AD=DE，
∴弧AD=弧DE，
∴∠DBA=∠DAE，
∵∠BCE=∠DCA=∠CBA+∠CAB，
∴∠DAO=∠BCE，
∵AD=DE，OA=OD=OE，
∴△OAD≌△ODE，
∴∠DEO=∠EDO=∠ADO=∠DAO，
即∠BCE=∠DEO=∠EDO=∠ADO=∠DAO=∠DCA，所以①不正确；
△DAE，△OAE，△OAD，△ODE，△OBE都是等腰三角形，所以②正确；
∵四边形OADE由两个全等的△OA、△ODE组成，且有公共边，
∴四边形OADE是轴对称图形，对称轴为直线OD，所以③正确；
∵∠DCA=∠ECB，∠DAE=∠EBC，
∴△CDA∽△CEB，
∴CD：CE=CA：CB，
即AC•CE=DC•BC，所以④正确；
∵∠DEA=∠EBD，∠EDC=∠BDE，
∴△DCE∽△DEB，
∴DE：DB=DC：DE，
即DE²=DC•DB，所以⑤正确．
故选C．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数是它所对的圆心角度数的一半．也考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、以及圆心角、弦、弧之间的关系．