Question

已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于y轴对称，过H作⊙O的切线交y轴于点A（如图1）．
（1）求⊙O半径；
（2）sin∠HAO的值；
（3）如图2，设⊙O与y轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），连接并延长DE，DF交⊙O于点B，C，直线BC交y轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为点D在圆上，根据点D的坐标利用勾股定理即可求得OD的长，即半径；
（2）连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，根据同角的余角相等可得到∠HAO=∠OHQ，根据已知可求得sin∠OHQ的值，则sin∠HAO的值也就求得了；
（3）设点D关于y轴的对称点为H，连接HD交OP于Q，则HD⊥OP，根据角平分线的性质及垂径定理可得到∠CGO=∠OHQ，则求得sin∠OHQ的值sin∠CGO也就求得了．
解答：解：（1）点D（4，3）在⊙O上，
∴OD²=4²+3²，
∴OD=5，
∴⊙O的半径r=OD=5；（1分）

（2）如图1，连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，
∴∠HAO=∠OHQ
∴sin∠HAO=sin∠OHQ==；

（3）连接DH交y轴于点Q，连接OH交BC于点T（如图2）．
∵D与H关于y轴对称，
∴DH⊥EF，
又∵△DEF为等腰三角形，
∴DH平分∠BDC，
∴∠BDH=∠HDC，
∴=，
∵HO为⊙O半径，
∴OT⊥BC，
∴∠CGO=∠QHO，
∴当E、F两点在OP上运动时，sin∠CGO的值不变．
点评：此题主要考查学生对切线性质，关于x轴、y轴、原点对称点的坐标，解直角三角形及垂径定理等知识点的综合运用．