Question

AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF=FG，DF=5，CG=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连OC，由BC∥OP，得到∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，则∠AOP=∠POC，可得△POA≌△POC，得到∠PAO=∠PC0，而PA为⊙O的切线，得∠OAP=90°，所以∠PC0=90°，根据切线的判定即可得到PC为⊙O的切线；
（2）连AD，由AB为⊙O的直径，得∠ADB=90°，而DE⊥AB，则∠ADE=∠ABD，所以∠ADE=∠ABD，从而易得到∠DAG=∠ADF，有
AF=DF=FG=5，AC=5+5+6=16，得到AH=

1

2

AC=8．易证Rt△AOH≌Rt△DOE，得DE=AH=8，则EF=DE-DF=8-5=3，在Rt△AEF中，利用勾股定理可求得AE=4，在Rt△DOE中，利用勾股定理即可得到⊙O的半径．

解答：证明：（1）连OC，如图，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，
而OB=OC，即∠OCB=∠OBC，
∴∠AOP=∠POC，
又∵OA=OC，OP公共，∴△POA≌△POC，
∴∠PAO=∠PC0，
而PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠PC0=90°，
∴PC为⊙O的切线；

（2）连AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ABD，
由（1）得∠AOP=∠COP，
∴∠ABD=∠DAF，
∴∠DAG=∠ADF，
∴AF=DF=FG=5，
∴AC=5+5+6=16．
∴AH=

1

2

AC=8，
又∵OA=OD，
∴Rt△AOH≌Rt△DOE，
∴DE=AH=8．
∴EF=DE-DF=8-5=3，
在Rt△AEF中，AE=

AF2-EF2

=

52-32

=4，
设⊙O半径为r，在Rt△DOE中，r²=8²+（r-4）²．
∴r=10．
所以⊙O的半径为10．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了切线的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．