Question

13．如图，抛物线y₁=-ax²+2ax-a-3（a＞0）和y₂=a（x+1）²-1（a＞0）的顶点分别为M、N，与y轴分别交于E、F．
（1）①函数y₁=-ax²+2ax-a-3（a＞0）的最大值是-3；
②当y₁、y₂的值都随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是-1≤x≤1；
（2）当EF=MN时，求a值，并判断四边形EMFN是何种特殊的四边形；
（3）若y₂=a（x+1）²-1（a＞0）的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程a（x+1）²-1=0的解．

Answer 1

分析 （1）①利用配方法得到y₁=-a（x-1）²-3，可得到函数的最大值；②依据二次函数的性质判断出每个二次函数y随x的增大而增大的范围，然后再求得其公共部分即可；
（2）由函数解析式可知：N（-1，-1），M（1，-3），依据两点间的距离公式可求得MN=2$\sqrt{2}$，然后再求得点F、E的坐标，然后依据EF=MN可求得a的值，作NC⊥y轴于C，MD⊥y轴于D，然后证明△NCF≌MDE，可得到NF=EM，NF‖EM
则四边形EMFN是平行四边形，然后由NM=EF可得到四边形EMFN的形状；
（3）依据两点间的距离公式可得到AN²=m²+2m+2，AM²=m²-2m+10，MN²=8，然后分为AN=AM，AN=MN，AM=MN，三种情况求得m的值，从而得到方程的一个解，然后利用抛物线的对称性可求得方程的另一个解．

解答 解：（1）①y₁=-ax²+2ax-a-3=-a（x²-2x+1）-3=-a（x-1）²-3，
∴函数y₁=-ax²+2ax-a-3（a＞0）的最大值是-3．
故答案为：-3．
②∵y₁=-a（x-1）²-3，-a＜0，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大．
∵y₂=a（x+1）²-1（a＞0），
∴当x≥-1时，y随x的增大而增大．
∴当-1≤x≤1时，y₁、y₂的值都随x的增大而增大．

（2）∵y₁=-a（x-1）²-3，y₂=a（x+1）²-1，
∴N（-1，-1），M（1，-3）．
由两点间的距离公式可知：MN=2$\sqrt{2}$．
令x=0得：y₁=-a-3，y₂=a-1．
∴F（0，a-1），E（0，-a-3）．
∴EF=2a+2．
∵EF=MN，
∴2a+2=2$\sqrt{2}$，解得：a=$\sqrt{2}$-1．

作NC⊥y轴于C，MD⊥y轴于D
∴NC=1，FC=a，MD=1，DE=a
∵在Rt△CNF和Rt△MDE中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=DE}\\{∠NCF=∠MDE}\\{CN=MD}\end{array}\right.$，
∴△NCF≌MDE．
∴NF=EM，∠NFC=∠DEM
∴NF‖EM
∴四边形EMFN是平行四边形
又∵NM=EF
∴四边形EMFN是矩形．

（3）∵A（m，0）M（1，-3）N（-1，-1），
∴AN²=m²+2m+2，AM²=m²-2m+10，MN²=8．
①若AN=AM，则m²+2m+2=m²-2m+10，解得：m=2，
∴方程a（x+1）²-1=0的一个解为x=2，
根据抛物线对称性，可知方程的另一个解为x=-4．
②若AN=MN，则m²+2m+2=8，解得：m=-1+$\sqrt{7}$或m=-1-$\sqrt{7}$（舍去），
所以方程a（x+1）²-1=0的一个解为x=-1+$\sqrt{7}$，
根据抛物线对称性，可知方程的另一个解为x=-1-$\sqrt{7}$．
③若AM=MN，所以m²-2m+10=8，
此方程无解，所以此种情况不成立
综上所述当△AMN为等腰三角形时，方程a（x+1）²-1=0的解为x₁=2，x₂=-4或x₁=-1$+\sqrt{7}$或x2=-1-$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的定义、矩形的判定，证得△NCF≌MDE是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键．