Question

15．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图1，若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S_△BAF=4S_△DFO，求点D的坐标，；
（3）如图2，若点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；
（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；
（3）在△BCD中，由三角形三边关系可知CD-CB≤BC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标．

解答 解：
（1）∵tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，且OB=4，
∴OA=2，
∵CE⊥x轴，即CE∥AO，
∴△AOB∽△CEB，
∴$\frac{AO}{CE}$=$\frac{BO}{BE}$，即$\frac{2}{CE}$=$\frac{4}{4+2}$，解得CE=3，
∴C（-2，3），
∴m=-2×3=-6，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{6}{x}$；

（2）设D（x，-$\frac{6}{x}$），
∵D在第四象限，
∴DF=x，OF=$\frac{6}{x}$，
∴S_△DFO=$\frac{1}{2}$DF•OF=$\frac{1}{2}$x×$\frac{6}{x}$=3，
由（1）可知OA=2，
∴AF=x+$\frac{6}{x}$，
∴S_△BAF=$\frac{1}{2}$AF•OB=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{6}{x}$）×4=2（x+$\frac{6}{x}$），
∵S_△BAF=4S_△DFO，
∴2（x+$\frac{6}{x}$）=4×3，解得x=3+$\sqrt{3}$或x=3-$\sqrt{3}$，
当x=3+$\sqrt{3}$时，-$\frac{6}{x}$的值为3-$\sqrt{3}$，
当x=3-$\sqrt{3}$时，-$\frac{6}{x}$的值为3+$\sqrt{3}$，
∵D在第四象限，
∴x=3-$\sqrt{3}$不合题意，舍去
∴D（3+$\sqrt{3}$，3-$\sqrt{3}$）；

（3）∵D在第四象限，
∴在△BCD中，由三角形三边关系可知CD-CB≤BC，即当B、C、D三点共线时，其差最大，
设直线AB解析式为y=kx+b，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
联立直线AB和反比例函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴D（6，-1），
即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，-1）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质、待定系数法、三角形的面积、函数图象的交点、三角形的三边关系等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中用D点坐标表示出△BAF和△DFO的面积是解题的关键，在（3）中确定出D为直线AB与反比例函数的交点是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．