Question

如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为4，A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过C点作⊙A的切线BC交x轴于B．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若一抛物线与x轴的交点恰为⊙A与x轴的两个交点，且抛物线的顶点在直线上y=

3

3

x+2

3

上，求此抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A点的坐标和圆的半径，连接AC，即可在直角三角形ACO中求出OC的长和∠BAC的度数，进而可在直角三角形BOC中，根据OC的长和∠B的度数求出B的坐标，然后用待定系数法求出直线BC的解析式．
另一种解法：得出OC的值和∠B的度数后，OC的值就是直线BC的解析式中c的值，而斜率k就是tan∠B，由此可直接求出直线BC的解析式．
（2）由于E，F正好是抛物线与x轴的交点，根据圆和抛物线的对称性，可知A点必在抛物线的对称轴上，可先根据A的坐标求出顶点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）将C点的坐标代入抛物线的解析式中即可判断出C点是否在抛物线上．

解答：解：（1）连接AC，因为BC为⊙A的切线，
则AC=4，OA=2，∠ACB=90°
又因为∠AOC=90°，
所以∠OCA=30°，∠A=60°，∠B=30度．
所以OC=OA•tan60°=2

3

，OB=OC•cot30°=2

3

×

3

=6，
所以B（-6，0），C（0，2

3

）．
设直线BC的解析式为y=kx+2

3

，
则0=-6k+2

3

解得k=

3

3

，
所以y=

3

3

x+2

3

．

（2）因为AE=4，OA=2，
所以OE=2，OF=6，
则E（-2，0），F（6，0）．
设抛物线的解析式是y=（9x+2）（x-6），
则y=a（x-2）²-16a，
所以顶点坐标是（2，-16a）．
因为（2，-16a）在直线y=

3

3

x+2

3

上，
所以-16a=

2 3

3

+2

3

，a=-

3

6

．
所以y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

．

（3）当x=0时，y=2

3

．故点C在抛物线上．

点评：本题主要考查了函数解析式的确定，切线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点．