分析 (1)延长ED交AG于点H,易证△AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可;
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,α=30°,α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,α=150°;
②当旋转到A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,AF′=AO+OF′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2,此时α=315°.
解答 解:(1)如图1,延长ED交AG于点H,
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,
∴OA=OD,OA⊥OD,
∵OG=OE,
在△AOG和△DOE中,
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOG=∠DOE=90°}\\{OG=OE}\end{array}\right.$,
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO,
∵∠AGO+∠GAO=90°,
∴∠GAO+∠DEO=90°,
∴∠AHE=90°,
即DE⊥AG;
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,
∵OA=OD=$\frac{1}{2}$OG=$\frac{1}{2}$OG′,
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=$\frac{OA}{OG′}$=$\frac{1}{2}$,
∴∠AG′O=30°,
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,
∴OD∥AG′,
∴∠DOG′=∠AG′O=30°,
即α=30°;
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,
同理可求∠BOG′=30°,
∴α=180°-30°=150°.
综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.
②如图3,当旋转到A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,
∵正方形ABCD的边长为1,
∴OA=OD=OC=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵OG=2OD,
∴OG′=OG=$\sqrt{2}$,
∴OF′=2,
∴AF′=AO+OF′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2,
∵∠COE′=45°,
∴此时α=315°.
点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用,有一定的综合性,分类讨论当∠OAG′是直角时,求α的度数是本题的难点.
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