Question

已知：如图，△ABC关于y轴对称，点B、P关于y轴的对称点分别是点C、Q．BP=AP=2，且P点坐标为（-1，0）．
（1）分别写出Q点和C点的坐标，并指出△ABP关于y轴的对称三角形；
（2）M为线段CQ上一点，若以x轴为旋转轴，旋转△PAM一周形成的旋转体的全面积为5π，求线段AM的长；
（3）N为线段AM上一动点（与点A、M不重合），过点N分别作NH⊥x轴于H，NG⊥y轴于G．求当矩形OHNG的面积最大时N点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）P，Q关于y轴对称，那么Q的坐标应该是（1，0），BP=2，那么CQ=2，因此C的坐标是（3，0），由于B，P关于y轴的对称点分别是C，Q，那么三角形ABP关于y轴的对称三角形就应该是ACQ；
（2）旋转一周得出的图形应该是两个圆锥的组合体，也就是以OA为底面圆半径，AM和AP为母线长的两个圆锥．那么关键是求出OA的长，可在直角三角形AOM中，根据AP，OP的长，求出OA的值，然后根据圆锥体全面积的计算方法表示出圆锥的全面积（这里不应该算底面圆），进而得出AM的值；
（3）求矩形的面积关键是求N点的坐标，那么就必须先求出AM所在直线的解析式，根据直线过A点，我们可将直线设成y=kx+，然后根据直线过M点，而OM可以在直角三角形AMO中求出，也就能得出M的坐标，然后用待定系数法求出函数的解析式，这样，可根据矩形的面积公式，以N的横坐标的绝对值当矩形的宽，以N的纵坐标的绝对值当矩形的长，以此可得出关于矩形的面积与横坐标的函数关系式，然后根据函数的性质判定出x为什么值时，矩形的面积最大，然后将x的值代入AM所在直线的解析式中得出N点的坐标．
解答：解：（1）Q点坐标为（1，0）；C点坐标为（3，0）；△ABP与△ACQ关于y轴对称；

（2）在Rt△AOP中，∵AP=2，PO=1，AO==，依题意有：
×2π×2+×2π×AM=5π，∴AM=3；

（3）在Rt△AOM中，∵AO=，AM=3，
∴OM==，
∴点M的坐标为（，0），设直线AM的解析式为：y=kx+，
∵直线AM经过点M（，0），k+=0，k=-，
∴直线AM的解析式为：y=-x+．设点N的坐标为（x，y），
则S_矩形AGOH=xy=x（-x+）=-x²+x=-（x-）²+，
∴当x=时，矩形NGOH的面积取得最大值，
此时y=-x+=，
∴点N的坐标为（，）．
点评：本题主要考查了对称的性质，一次函数及二次函数的实际应用等知识点，根据对称得出各边的长是解题的关键．