Question

如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，过C点的切线与过A、B两点的切线分别交于E、F两点，AP、BE相交于点P，求证：CP∥AE．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：根据切线的性质，由AE和BF为⊙O的切线得到AE⊥AB，BF⊥AB，则AE∥BF，再根据平行线分线段成比例定理得到

AE

BF

=

AP

FP

，接着根据切线长定理得到AE=CE，BF=CF，所以

EC

CF

=

AP

FP

，然后根据平行线分线段成比例定理的逆定理可得CP∥AE．

解答：证明：∵AE和BF为⊙O的切线，
∴AE⊥AB，BF⊥AB，
∴AE∥BF，
∴

AE

BF

=

AP

FP

，
∵EF与⊙O相切于C，
∴AE=CE，BF=CF，
∴

EC

CF

=

AP

FP

，
∴CP∥AE．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了平行线分线段成比例定理．