Question

22、已知：如图，菱形ABCD中，∠A=120°，过C分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，与对角线BD相交于G、H．
求证：（1）△GBC≌△HDC；（2）△CGH是等边三角形．

Answer 1

分析：（1）由∠A=120°，CE、CF分别垂直于AB、AC，求得∠ABC=∠ADC=60°，∠BCE=∠DCF=30°，从而证得△GBC≌△HDC；
（2）由△GBC≌△HDC可得CG=CH，根据∠CGH是△BCG的外角，可得等于60°，根据由一个角为60°，的等腰三角形是等边三角形得出结论．

解答：证明：（1）∵ABCD为菱形，∠A=120°，
∴∠B=∠D=60°．（2分）
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠BCG=∠HDC=30°．（4分）
又∵BD为对角线，
∴∠CBG=∠HDC=30°．（5分）
BC=DC．（6分）
∴△GBC≌△HDC．（7分）

（2）∴CG=CH，
∴∠GCH=60°．（9分）
∴△CGH为等边三角形．（10分）

点评：本题考查了菱形的对角线平分每一组对角的性质以及等边三角形的判定．