Question

20．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设抛物线上的一个动点P的横坐标为t（0＜t＜3），过点P作PD⊥BC于点D．
①求线段PD的长的最大值；
②当BD=2CD时，求t的值．
（3）若点Q是抛物线的对称轴上的动点，抛物线上存在点M，使得以B、C、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A、B、C三点的坐标代入y=a（x+1）（x-3）即可求出抛物线的解析式．
（2）①过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，求出△PBC的最大面积，即可求出PD的最大值．
②过点D作DG⊥x轴于点G，由于DG∥OC，从而可知$\frac{BD}{CD}=\frac{BG}{OG}$，从而可求出t的值．
（3）由于BC是B、C、Q、M为顶点的四边形中的一条固定的线段，因此将此线段分为平行四边形的边和对角线进行讨论即可求出M的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3）
将C（0，3）代入上式，
∴3=-3a，
∴a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3

（2）连接PC、PB，
过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，
∴设P（t，-t²+2t+3），
∵OB=OC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3$\sqrt{2}$
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B（3，0）和C（0，3）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
令x=t代入y=-x+3，
∴y=3-t，
∴F（t，3-t），
∴PF=-t²+2t+3-（3-t）=-t²+3t
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PF•OE+$\frac{1}{2}$PF•BE
=$\frac{1}{2}$PF（OE+BE）
=$\frac{1}{2}$PF•OB
=$\frac{3}{2}$（-t²+3t）
=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$（0＜t＜3）
当t=$\frac{3}{2}$时，S_△PBC的最大值为$\frac{27}{8}$，
又∵S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC•PD，
∴PD=$\frac{9}{8}\sqrt{2}$
②过点D作DG⊥x轴于点G，
∴OG=t，BG=3-t，
∵DG∥OC，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BG}{OG}=2$，
∴$\frac{3-t}{t}=2$，
∴t=1；

（3）当BC是以B、C、Q、M为顶点的平行四边形的边时，
过点C作CH⊥抛物线的对称轴于点H，
过点B作BK⊥x轴于点B，垂足为B，
过点M作MN⊥BK于点N，
由于BK∥抛物线的对称轴，
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴CH=MN=1，
设M的横坐标为x，
∴MN=|x-3|=1，
∴x=4或x=2，
x=4时，此时M的坐标为（4，-5）
x=2时，此时M的坐标为（2，3）
当BC是以B、C、Q、M为顶点的平行四边形的对角线时，
此时MQ也是该平行四边形的对角线，
且MQ必过BC的中点，即M在抛物线的对称轴上，
此时M的横坐标为1，
∴令x=1，此时M的坐标为（1，4），
综上所述，M的坐标为（4，-5）或（2，3）或（1，4）

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及平行四边形的判定与性质，解方程，待定系数法求解析式，二次函数的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．