Question

8．如图，BC为⊙O的直径，点A为⊙O上的点，以BC、AB为边作?ABCD，⊙O交于AD与点E，连接BE，点P是过点B的⊙O的切线上的一点．连结PE，且满足∠PEA=∠ABE．
（1）求证：PB=PE；
（2）若sin∠P=$\frac{3}{5}$，DE=$\sqrt{10}$，求AB的值．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质求得∠ABP=∠AEB，根据已知条件即可求得∠PBE=∠PEB，根据等角对等边即可证明结论；
（2）连接EC，延长DA交PB于F，根据平行弦的性质得出$\widehat{AB}$=$\widehat{CE}$，进而求得AB=CE=CD，得出三角形CED是等腰三角形，在等腰三角形PBE中根据勾股定理求得BE的长，进而求得$\frac{BE}{PE}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，由于∠AEB=∠EBC，∠ABP=∠AEB，得出∠ABP=∠EBC，从而得出∠PBE=∠ABC=∠D，求得△CDE∽△PBE，得出$\frac{DE}{DC}$=$\frac{BE}{PE}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，由AB=CD可求出结果．

解答 （1）证明：∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP=∠AEB，
∵∠PEA=∠ABE．
∴∠PBE=∠PEB，
∴PB=PE；

（2）解：连接EC，延长DA交PB于F，
∵PB是⊙O的切线，
∴BC⊥PB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴EF⊥PB，
∵sin∠P=$\frac{3}{5}$，
设PE=5a，EF=3a，则PF=4a，
∵PB=PE=5a，
∴BF=a，
∴BE=$\sqrt{{BF}^{2}{+EF}^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
∴$\frac{BE}{PE}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∵AD∥BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CE}$，
∴AB=CE，
∵AB=CD，
∴CE=CD，
∴∠D=∠CED，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠ABP=∠AEB，
∴∠ABP=∠EBC，
∴∠PBE=∠ABC，
∴∠PBE=∠D，
∵∠PBE=∠PEB，
∴△CDE∽△PBE，
∴$\frac{DE}{CD}$=$\frac{BE}{PE}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∵DE=$\sqrt{10}$，
∴AB=CD=5．

点评 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的性质，平行弦的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，本题的关键是求得三角形相似．