Question

已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H
（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；
（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；
小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

Answer 1

【答案】分析：（1）延长CB至E使BE=DN，连接AE，由三角形全等可以证明AH=AB；
（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又AE=AD=AF，所以四边形AEGF是正方形，设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，所以BG=x-2；CG=x-3；BC=2+3=5，在Rt△BGC中，（x-2）²+（x-3）²=5²解之 得x₁=6，x₂=-1，所以AD的长为6．
解答：（1）答：AB=AH，
证明：延长CB至E使BE=DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABE=180°-∠ABC=90°
又∵AB=AD，
∵在△ABE和△ADN中，
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠1=∠2，AE=AN，
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠1+∠3=90°-∠MAN=45°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EAM=45°，
∵在△EAM和△NAM中，
，
∴△EAM≌△NAM（SAS），
又∵EM和NM是对应边，
∴AB=AH（全等三角形对应边上的高相等）；

（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，

∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴∠E=∠F=90°，
又∵∠BAC=45°
∴∠EAF=90°
延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，
又∵AE=AD=AF
∴四边形AEGF是正方形，
由（1）、（2）知：EB=DB=2，FC=DC=3，
设AD=x，则EG=AE=AD=FG=x，
∴BG=x-2；CG=x-3；BC=2+3=5，
在Rt△BGC中，（x-2）²+（x-3）²=5²
解得x₁=6，x₂=-1，
故AD的长为6．
点评：本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，题目的综合性很强，难度中等．