Question

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{3}{4}$x-3分别与x轴、y轴交于点A、B，点P的坐标为（0，4）．若点M在直线AB上，则PM长的最小值为$\frac{28}{5}$．

Answer 1

分析 根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案．

解答 解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，
∵直线y=$\frac{3}{4}$x-3与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，-3），
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，
∴△PBM∽△ABO，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PM}{AO}$，即$\frac{7}{5}=\frac{PM}{4}$，解得：PM=$\frac{28}{5}$．
故答案为：$\frac{28}{5}$

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点以及三角形相似的性质与判定等知识点，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．