Question

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD交AB于E，求证：AE=2BE．

Answer 1

分析 如图，作BF⊥BC交CE的延长线于F．由△BCF≌△CAD，推出CD=BF，由AC=BC，CD=DB，推出AC=2BF，由BF∥AC，推出$\frac{AC}{BF}$=$\frac{AE}{BE}$=2，即可解决问题．

解答 证明：如图，作BF⊥BC交CE的延长线于F．

∵∠ACB=∠CBF=90°，AD⊥CE，
∴∠BCF+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAD=90°，
∴∠BCF=∠CAD，
在△BCF和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠CAD}\\{BC=AC}\\{∠CBF=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△CAD（ASA），
∴CD=BF，
∵AC=BC，CD=DB，
∴AC=2BF，
∵BF∥AC，
∴$\frac{AC}{BF}$=$\frac{AE}{BE}$=2，
∴AE=2BE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．