Question

13．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB上，C，D是圆上的两点，OE⊥PD，垂足为E，若∠DPA=∠CPB，AB=12，DE=4$\sqrt{2}$．
（1）求OE的长；
（2）求证：PD+PC=2DE；
（3）若PC=3$\sqrt{2}$，求DP的长和sin∠CPB的值．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由OE⊥PD，AB=12，DE=4$\sqrt{2}$，直接利用垂径定理求解即可求得答案；
（2）首先延长CP交⊙O于点F，过点O作OG⊥PF于点G，连接OF，易证得Rt△OEP≌Rt△OGP，Rt△OED≌Rt△OGD，即可得PE=PG，DE=FG，继而证得结论；
（3）由PD+PC=2DE，可求得PD的长，然后由勾股定理求得OP的长，继而求得答案．

解答 （1）解：连接OD，
∵AB=12，
∴OD=6，
∵OE⊥PD，DE=4$\sqrt{2}$，
∴OE=$\sqrt{O{D}^{2}-D{E}^{2}}$=2；

（2）证明：延长CP交⊙O于点F，过点O作OG⊥PF于点G，连接OF，
∴FG=CG，
∵∠DPA=∠CPB=∠FPA，
∴OE=OG，
在Rt△OEP和Rt△OGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{OE=OG}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEP≌Rt△OGP（HL），
同理：Rt△OED≌Rt△OGF，
∴PE=PG，DE=FG，
∴PD=PF，
∴PD+PC=PF+PC=FC=2FG=2DE；

（3）∵PC=3$\sqrt{2}$，PD+PC=2DE，
∴PD+3$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$，
∴PD=5$\sqrt{2}$，
∴PE=PD-DE=5$\sqrt{2}$-4$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴OP=$\sqrt{O{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴sin∠CPB=sin∠EPD=$\frac{OE}{OP}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 此题属于圆的综合题．考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．