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4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是边AC、BC上一点,点P是AB所在直线上一动点,记∠PDA=∠1、∠PEB=∠2、∠DPE=∠3.
(1)如图1,若点P在A、B两点之间,连接CP、则∠3与∠1+∠2之间有何数量关系?请说明理由;
(2)若点P在BA的延长线上,且CE<CD.
①当点P在图2所示位置时,∠1、∠2、∠3之间有何数量关系?请说明理由;
②当点P在图3所示位置时,①中结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,写出此时∠1、∠2、∠3之间的数量关系并说明理由.

分析 (1)如图1中,结论:∠1+∠2=90°+∠3.连接AC,利用三角形的外角的性质证明即可;
(2)①如图2中,结论:∠2=90°+∠1+∠3.利用三角形的外角的性质证明即可;
②如图3中,结论:①中的结论不成立.结论:∠2=90°+∠1-∠3,证明方法类似;

解答 解:(1)如图1中,结论:∠1+∠2=90°+∠3.

理由:连接AC.
∵∠2=∠ECP+∠EPC,∠1=∠DCP+∠DPC,∠3=∠EPC+∠DPC,∠ACB=∠ECP+∠DCP=90°,
∴∠1+∠2=(∠ECP+∠DCP)+(∠EPC+∠DPC)=90°+∠3.

(2)①如图2中,结论:∠2=90°+∠1+∠3.

理由:∵∠2=∠C+∠CFE=90°+∠CFE,
又∵∠CFE=∠1+∠3,
∴∠2=90°+∠1+∠3.

②如图3中,结论:①中的结论不成立.结论:∠2=90°+∠1-∠3.

理由:∵∠2=∠C+∠CFE=90°+∠CFE,
又∵∠1=∠DFP+∠3,∠CFE=∠DFP,
∴∠CFE=∠1-∠3,
∴∠2=90°+∠1-∠3.

点评 此题是三角形综合题,主要考查了四边形的内角和,三角形的内角和,三角形的外角的性质,平角的定义,解本题的关键是将∠1,∠2,∠3转化到一个三角形或四边形中,是一道比较简单的中考常考题.

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