Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（-1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与此抛物线的另一个交点为C，则S_△BCD：S_△ABO=（　　）

• A． 8：1
• B． 6：1
• C． 5：1
• D． 4：1

Answer 1

分析 设直线AB的解析式为y=kx+b，二次函数的解析式为y=a（x+1）²+1，结合点的坐标利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式，联立一次函数与二次函数解析式解出交点C的坐标，根据两点间的距离公式求出线段BC、AB的长度，再借用点到直线的距离公式（分子部分）寻找到点D、O到直线AB的距离间的关键，借助各比例关系利用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：设直线AB的解析式为y=kx+b，二次函数的解析式为y=a（x+1）²+1，
将点A（1，0）、B（0，2）代入y=kx+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-2x+2；
将点B（0，2）代入到y=a（x+1）²+1中得：
2=a+1，解得：a=1，
∴二次函数的解析式为y=（x+1）²+1=x²+2x+2．
将y=-2x+2代入y=x²+2x+2中得：
-2x+2=x²+2x+2，整理得：x²+4x=0，
解得：x₁=-4，x₂=0，
∴点C的坐标为（-4，10）．
∵点C（-4，10），点B（0，2），点A（1，0），
∴AB=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{（-4-0）^{2}+（10-2）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴BC=4AB．
∵直线AB解析式为y=-2x+2可变形为2x+y-2=0，
∴|-2+1-2|=3，|-2|=2．
∴S_△BCD：S_△ABO=4×3：2=12：2=6：1．
故选B．

点评 本题考查了二次函数的性质、两点间的距离公式、点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，解题的关键是求出两函数的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．