Question

已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD于点M，折痕交边BC于点N．
（1）写出图中的全等三角形．设CP=x，AM=y，写出y与x的函数关系式；
（2）试判断∠BMP是否可能等于90°．如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由折叠的性质可得：△MBN≌△MPN；
∵△MBN≌△MPN，
∴MB=MP，
∴MB²=MP²，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
∵AD=3，CD=2，CP=x，AM=y，
∴DP=2-x，MD=3-y，AB=2，
Rt△ABM中，MB²=AM²+AB²=y²+4，
同理：MP²=MD²+PD²=（3-y）²+（2-x）²，
∴y²+4=（3-y）²+（2-x）²，
∴y与x的函数关系式为：y=；

（2）∠BMP=90°．
若∠BMP=90°，
则∠AMB+∠DMP=90°，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMP，
在△ABM和△DMP中，
，
∴△ABM≌△DMP（AAS），
∴AM=DP，AB=DM，
∴2=3-y，
解得：y=1，
∴1=2-x，
解得：x=1，
∴当CP=1时，∠BMP=90°．
分析：（1）由折叠的性质可得：△MBN≌△MPN，即可得MB=MP，又由四边形ABCD是矩形，可得AB=CD，∠A=∠D=90°，然后分别在Rt△ABM与Rt△DMP中，利用勾股定理，可得MB²=AM²+AB²=y²+4，MP²=MD²+PD²=（3-y）²+（2-x）²，继而求得y与x的函数关系式；
（2）若∠BMP=90°，可证得△ABM≌△DMP，即可得AM=DP，AB=DM，则可求得CP的长．
点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．