Question

如图，已知矩形ABCD，AB=

3

，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有什么数量关系？并证明你猜想的结论．

Answer 1

分析：（1）要求△PEF的边长，需构造直角三角形，那么就过P作PQ⊥BC于Q．利用∠PFQ的正弦值可求出PF，即△PEF的边长；
（2）猜想：PH-BE=1．利用∠ACB的正切值可求出∠ACB的度数，再由∠PFE=60°，可得出△HFC是等腰三角形，因此就有BE+EF+CF=BE+PH+2FH=3．再把其中FH用PH表示，化简即可．

解答：解：（1）过P作PQ⊥BC于Q．
∵矩形ABCD
∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又AD∥BC，
∴PQ=AB=

3

，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFQ=60°．
在Rt△PQF中，PF=2，
∴△PEF的边长为2；

（2）在Rt△ABC中，AB=

3

，BC=3，tan∠1=

AB

BC

=

3

3

，
∴∠1=30°．（5分）
∵△PEF是等边三角形，
∴∠2=60°，PF=EF=2．                                 （6分）
∵∠2=∠1+∠3，
∴∠3=30°，∠1=∠3．
∴FC=FH．                                                 （7分）
∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，
∴PH-BE=1．                                                 （8分）
注：每题只给了一种解法，其他解法按本评标相应给分．

点评：本题利用了矩形、平行线、等边、等腰三角形的性质，还有正切函数等知识，运用的综合知识很多．