Question

已知：如图，抛物线y=x²+4x+m与x轴的负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），过A、C两点作直线AC。

（1）直接写出m的值及点A、B的坐标；
（2）点P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S₁、S₂，且S₁：S₂=2：3，求点P的坐标；
（3）①设⊙O'的半径为1，圆心O'在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙O'与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心O'的坐标；若不存在，请说明理由；
②探究：设⊙O'的半径为r，圆心O'在抛物线上运动，当r取何值时，⊙O'与两坐标轴都相切？

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²+4x+m与与y轴交于点C（0，3），
∴m=3，
∴抛物线的的解析式为y=x²+4x+3，
令y=0，得x²+4x+3=0，即得x=-1或-3，
∴A（-3，0），B（-1，0）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴，
即得b=3，k=1，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
∵P在线段AC上，
∴设点P（x，x+3），
∴S₁=S_△ABP=AB·|x+3|=|x+3|，
S₂=S_△BPC=S_△ABC-S_△ABP =×2×3-AB·|x+3| =3-|x+3|，
∵S₁：S₂=2：3，
∴|x+3|：（3-|x+3|）=2：3，
∴|x+3|=，解得x=-或-，
∵P在线段AC上，
∴-3＜x＜0，
∴舍去x=-，
∴点P的坐标为（-，）；
（3）①⊙O′的半径为1，圆心在y=1上，解得x=-2±；
圆心在y=-1上，解得x=-2；
圆心在x=1上，解得y=7；
圆心在x=-1上，解得x=0；
∴⊙O′的坐标为（-2，-1），（-2+，1），（-2-，1），（1，7），（-1，0）；
②⊙O′的半径为r，与两坐标轴均相切，则圆心在y=-x或y=x上，
圆心在y=x上，无交点；
圆心在y=-x上，解得x=，则r=，
∴当r=时，⊙O′与两坐标轴都相切。