Question

已知：如图1，PA切⊙O于A点，割线PCB交⊙O于C、B两点，D是线段BP上一点，且PD²=PB•PC，直线AD交⊙O于E点．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：AB•AC=AD•AE；
（3）若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”（如图2），则题（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC=∠ABC，PA²=PC•PB
∵PD²=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∴∠PAC+∠DAC=∠ABC+∠BAE
∵∠PAC=∠ABC
∴∠DAC=∠BAE
∴AD平分∠BAC；

（2）证明：连接BE，则∠AEB=∠ACB
∵∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ADC
∴=即：AB•AC=AD•AE；

（3）解：（2）的结论仍然成立，
证明：连接BE
∵AB是直径
∴∠AEB=∠ACB=∠ACD=90°
∵PA是⊙O的切线
∴PA²=PC•PB，∠BAP=90°
∵PD²=PB•PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∵∠BAP=90°，∠BEA=90°
∴∠BAE+∠PAD=∠BAE+∠EBA=90°
∴∠PAD=∠EBA
∵∠BEA=∠ACD=90°
∴△ABE∽△ADC
∴=，即：AB•AC=AD•AE
因此，（2）的结论仍然成立．
分析：（1）本题可先根据切割线定理，以及给出的PD²=PB•PC，得出PA=PD，根据等边对等角，得出∠PAD=∠PDA，根据∠PAD=∠PAC+∠DAC，∠PDA=∠ABC+BAE，以及圆周角定理得出∠BAE=∠EAC，即AD平分∠BAC；
（2）本题实际求的是三角形ACD和ABE相似，已知的条件有：圆周角∠ACD=∠AEB，又由（1）的角平分线得出的∠BAE=∠CAE，因此两三角形就相似，即可得出题中所求证得结论；
（3）和（1）（2）的方法一样，先根据切割线定理得出PA=PD，然后根据等角的余角相等，得出∠EBA=∠PAD=∠D，又已知了一组直角，那么三角形ABE和三角形ACD相似，由此可得出所求的结论．
点评：本题主要考查了切线的性质，切割线定理以及相似三角形的判定与性质等知识点．用相似三角形来求线段的比例关系是本题的基本思路．