Question

将两块形状大小完全相同的直角三角板按如图1所示的方式拼在一起．它们中较小直角边的长为6cm，较小锐角的度数为30°．

（1）将△ECD沿直线AC翻折到如图2的位置，连接CF，图中除了△ABC≌△ECD≌△ECD′外，还有没有全等的三角形？若有，请指出一对并给出证明．
（2）以点C为坐标原点建立如图3所示的直角坐标系，将△ECD沿x轴向左平移，使E点落在AB上，请求出点E′的坐标．
（3）若将△ECD绕点C按逆时针方向旋转到图4的位置，使E点落在AB上，E′D′交AC于点F，以点C为圆心，CF为半径作⊙C，请判断边E′D′与⊙C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意：由轴对称的性质容易证明：△AFE≌△D′FB；
（2）根据平移的性质可知CC′为平移的距离，先求BC′的长度，进而可得点E′的坐标．
（3）通过证明∠CFE′=90°，可得边E′D′与⊙C的位置关系．
解答：解：（1）△AEF≌△D′BF，（△ACF与△D′CF，△ECF与△BCF．）
证明：∵△ABC≌△D′EC，
∴∠A=∠D′，AC=D′C，BC=EC，
∴AE=D′B
在△AEF与△D′BF中
，
∴△AEF≌△D′BF

（2）在Rt△E′BC′中，，所以，所以E′（，6）

（3）E′D′与⊙C相切．理由如下：
∵E′C=BC，且∠ABC=60°，
∴△BCE′为等边三角形，
∴∠E′CB=60°，
∴∠E′CF=30°，
又∵∠C E′F=60°，
∴∠CFE′=90°，
∴E′D′与⊙C相切．
点评：本题综合考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定，坐标与图形性质，平移、旋转的性质；平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．