Question

6．如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12．
（1）求矩形OABC的周长；
（2）若A点坐标为（5，0），求E点的坐标；
（3）求经过D、E两点的直线的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）根据折叠和矩形的性质得出AE=OA=BC，OD=DE，BC=OA，AB=OC，根据已知得出CE+CD+DE+AB+BE+AE=16，推出CE+BE+AB+OA+OD+CD=16即可．
（2）根据勾股定理求出BE，求出CE，
（3）设OD=x，则DE=OD=x，DC=3-x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出x²=1²+（3-x）²，求出即可得出D坐标，最后用待定系数法即可．

解答 解：（1）∵以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，四边形OABC是矩形，
∴AE=OA=BC，OD=DE，BC=OA，AB=OC，
∵△ECD的周长为4，△EBA的周长为12，
∴CE+CD+DE+AB+BE+AE=4+12=16，
∴CE+BE+AB+OA+OD+CD=16，
即矩形OABC的周长为16，

（2）∵矩形OABC的周长为16，
∴2OA+2OC=16，
∵A点坐标为（5，0），
∴OA=5，
∴OC=3，
∵在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=3，AE=OA=5，由勾股定理得：BE=4，
∴CE=5-4=1，
∴E的坐标是（1，3），

（3）设OD=x，则DE=OD=x，DC=3-x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x²=1²+（3-x）²，
解得：x=$\frac{5}{3}$，
即OD=$\frac{5}{3}$，
∴D的坐标是（0，$\frac{5}{3}$），
∵E的坐标是（1，3），
∴经过D、E两点的直线的函数表达式y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了考查了勾股定理，矩形的性质，折叠的性质的应用，待定系数法，用了方程思想解决问题是解本题的关键．