Question

已知：如图，在?ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．
（1）求证：BE=DG；
（2）若∠BCD=120?，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

Answer 1

考点：菱形的判定,平行四边形的性质,平移的性质

专题：

分析：（1）根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG；
（2）要使四边形ABFG是菱形，须使AB=BF；根据条件找到满足AB=BF的AB与BC满足的数量关系即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG，AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG．
∴BE=DG；

（2）解：当BC=

3

2

AB时，四边形ABFG是菱形．
证明：∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形．
∵Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=

1

2

AB．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半）
∵BE=CF，BC=

3

2

AB，
∴EF=

1

2

AB．
∴AB=BF．
∴四边形ABFG是菱形．

点评：本题考查平移的基本性质以及菱形的判定，关键是掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等和平行四边形的性质以及菱形的判定定理．