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如图,已知直线l1l2,直线l3和直线l1l2交于点CD,在CD之间有一点P,如果P点在CD之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系是否发生变化.若点PCD两点的外侧运动时(P点与点CD不重合),试探索∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系又是如何?


解: 若P点在CD之间运动时,则有∠APB=∠PAC+∠PBD.

理由是:如图4,过点PPEl1,则∠APE=∠PAC

又因为l1l2,所以PEl2,所以∠BPE=∠PBD

所以∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD,即∠APB=∠PAC+∠PBD.

若点PCD两点的外侧运动时(P点与点CD不重合),则有两种情形:

(1)如图1,有结论:∠APB=∠PBD-∠PAC.

理由是:过点PPEl1,则∠APE=∠PAC

又因为l1l2,所以PEl2,所以∠BPE=∠PBD

所以∠APB=∠BAE+∠APE,即∠APB=∠PBD-∠PAC.

(2)如图2,有结论:∠APB=∠PAC-∠PBD.

理由是:过点PPEl2,则∠BPE=∠PBD

又因为l1l2,所以PEl1,所以∠APE=∠PAC

所以∠APB=∠APE+∠BPE,即∠APB=∠PAC+∠PBD.

                          

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