Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．

（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）点D的坐标为（，）或（，）或（1，﹣3）或（，）．

【解析】

（1）令x＝0，则y＝﹣3a，可知点C（0，﹣3a），继而知点A的坐标，根据抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于A、B两点可知，ax2+2ax﹣3a＝0,解方程可得点A、B的坐标，继而求出a的值及抛物线解析式；

（2）过点P作PM⊥y轴交直线EF于点M，设点P，点M，则PH＝＝，将表达式配成顶点式即可得出答案；

（3）分∠BCD＝90°、∠CDB＝90°两种情况，作出图形分别求解即可．

（1）令x＝0，则y＝﹣3a，可知点C（0，﹣3a），

∵OA＝OC

∴点A（﹣3a，0），

令，即

解得：x1＝﹣3，x2＝1

∴点A（﹣3，0），B（1，0）

∴﹣3a＝﹣3

∴a＝1

∴抛物线的解析式y＝x2+2x﹣3

（2）过点P作PN⊥y轴交直线EF于点N，

∵直线EF的解析式为y＝﹣x，

∴∠NOA＝45°，

∴∠PNH＝45°

设点P，点N，

∴PH＝＝＝，

当x＝时，PH的值最大为，

（3）当∠BCD＝90°时，如图2左侧图所示，

当点D在BC的右侧时，

过点D作DM⊥y轴于点M，则CD＝OB＝1，OC＝3，

tan∠BCO＝＝tan∠CDM＝，

则，，

∴xD＝CD＝，同理yD＝，

故点D（，）；

同理当点D在BC的左侧时，点D的坐标（，）；

当∠CDB＝90°时，如图2右侧图所示，

当点D在BC的右侧时，

CD＝OB＝1，则点D（1，﹣3），

当点D在BC的左侧时，由点的对称性，同理可得：点D（，）；

综上所述，点D的坐标为（，）或（，）或（1，﹣3）或（，）．