Question

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点，有以下四个命题：
①如果AB+DC=BC，则∠BEC=90°；
②如果∠BEC=90°，则AB+DC=BC；
③如果BE是∠ABC的平分线，则∠BEC=90°，
④如果AB+DC=BC，则CE是∠DCB的平分线，
其中真命题的个数是

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：首先过点E作EF∥CD，由E是AD的中点，可得EF是梯形ABCD的中位线，即可得AB∥EF∥CD，EF=（AB+CD）；
①由AB+DC=BC，可得EF=BC，即可判定∠BEC=90°；
②如果∠BEC=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AB+DC=BC；
③如果BE是∠ABC的平分线，易得EF=BC，即可判定∠BEC=90°；
④如果AB+DC=BC，可得EF=CF=BC，继而可得CE是∠DCB的平分线，
解答：解：过点E作EF∥CD，
∵AB∥DC，E是AD的中点，
∴AB∥EF∥CD，EF=（AB+CD）；
①∵AB+DC=BC，
∴EF=BC，
∴∠BEC=90°；正确；
②∵∠BEC=90°，
∴EF=BC，
∴AB+DC=BC；正确；
③∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠FBE，
∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE，
∴∠BEF=∠FBE，
∴EF=BF，
∴EF=BC，
∴∠BEC=90°；正确；
④∵AB+DC=BC，
∴EF=CF=BC，
∴∠FEC=∠FCE，
∵EF∥CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∴∠DCE=∠FCE，
即CE是∠DCB的平分线，正确．
故选D．
点评：此题考查了梯形的性质、梯形中位线的性质、直角三角形斜边的中线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．