【题目】如图,O是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①点O与O′的距离为4;②∠AOB=150°;③.其中正确的结论是( )
A. ①B. ①②C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
根据旋转的性质与全等三角形的判定与性质即可判断.
解:连结OO′,如图,
(1)∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,
∴BO′=BO=4,∠O′BO=60°,
∴△BOO′为等边三角形,
∴OO′=OB=4,所以①正确;
(2)∵△ABC为等边三角形,
∴BA=BC,∠ABC=60°,
∴∠O′BO﹣∠ABO=∠ABC﹣∠ABO,即∠O′BA=∠OBC,
在△O′BA和△OBC中
,
∴△O′BA≌△OBC,
∴O′A=OC=5,
在△AOO′中,∵OA′=5,OO′=4,OA=3,
∴OA2+OO′2=O′A2,
∴∠AOO′=90°,
∵△BOO′为等边三角形,
∴∠BOO′=60°,
∴∠AOB=60°+90°=150°,所以②正确;
(3)∵△O′BA≌△OBC,
∴S△O′BA=S△OBC,
∴S△ABC﹣S△AOC=S△AOB+S△BOC
=S△AOB+S△BO′A
=S四边形BOAO′
=S△BOO′+S△OO′A
=×42+×4×3
=4+6,所以③正确.
故选:D.
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【题目】阅读材料:
像、、……两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.例如与,与,与等都是互为有理化因式.
在进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号。
例如:;
解答下列问题:
(1)与 互为有理化因式,将分母有理化得
(2)计算:
(3)观察下面的变形规律并解决问题:
①,,,……若为正整数,请你猜想
②计算:
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【题目】(1)如图所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数;
(2)如果(1)中∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON的度数;
(3)如果(1)中∠BOC=β(β为锐角),其他条件不变,求∠MON的度数;
(4)从(1)(2)(3)的结果中你能看出什么规律?
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【题目】小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.
(1)小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系: ;
(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?
(3)小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值.
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【题目】我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧,则圆心角AOB的度数等于它所对的弧AB的度数记为:∠AOB .由此可知:命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半.”是真命题,请结合图形1给予证明(不要求写已知、求证,只需直接证明),并解决以下的问题(1)和问题(2).
问题(1):如图2,⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,求证:∠APC (+);
问题(2):如图3,⊙O的两条弦AB、CD相交于圆外一点P,问题(1)中的结论是否成立,如果成立,给予证明;如果不成立,写出一个类似的结论(不要求证明)
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【题目】如图,图中小方格都是边长为1的正方形,△ABC与△A′B′C′是关于点G为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形顶点上.
(1)画出位似中心点G;
(2)若点A、B在平面直角坐标系中的坐标分别为(﹣6,0),(-3,2),点P(m,n)是线段AC上任意一点,则点P在△A′B′C′上的对应点P′的坐标为 .
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【题目】《教育导报》记者就四川省农村中小学教师阅读状况进行了一次问卷调查,并根据调查结果绘制了教师每年阅读书籍数量的统计图(不完整).设x表示阅读书籍的数量(x为正整数,单位:本).其中A:1x3; B:4x6; C:7x9;D:x10.请你根据两幅图提供的信息解答下列问题:
(1)本次共调查了多少名教师?
(2)补全条形统计图;
(3)计算扇形统计图中扇形D的圆心角的度数。
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,四边形BCED为平行四边形,DE、AC相交于F.
(1)试确定四边形ADCE的形状,并说明理由;
(2)若AB=16,AC=12,求四边形ADCE的面积;
(3)若四边形ADCE为正方形,△ABC应添加什么条件,并证明你的结论.
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