【题目】如图1,抛物线与轴交于点,与轴交于点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点为抛物线的顶点,在轴上是否存在点,使?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)如图2,位于轴右侧且垂直于轴的动直线沿轴正方向从运动到(不含点和点),分别与抛物线、直线以及轴交于点,过点作于点,求面积的最大值.
【答案】(1);(2)不存在,理由见解析;(3)最大值为.
【解析】
(1)利用待定系数法求出解析式;
(2) 设点N的坐标为(0,m),过点M做MH⊥y轴于点H,证得△MHN∽△NOB,利用对应边成比例,得到,方程无实数解,所以假设错误,不存在;
(3) △PQE∽△BOC,得,得到,当PE最大时,最大,求得直线的解析式,设点P的坐标为 ,则E,再求得PE的最大值,从而求得答案.
(1) 把点A(-2,0)、B(8,0)、C(0,4)分别代入,得:
,
解得,
则该抛物线的解析式为:;
(2)不存在
∵抛物线经过A(-2,0)、B(8,0),
∴抛物线的对称轴为,
将代入得:,
∴抛物线的顶点坐标为: ,
假设在轴上存在点,使∠MNB=90,
设点N的坐标为(0,m),过顶点M做MH⊥y轴于点H,
∴∠MNH+∠ONB=90,∠MNH+∠HMN=90,
∴∠HMN=∠ONB,
∴△MHN∽△NOB,
∴,
∵B(8,0),N (0,m), ,
∴,
∴,
整理得:,
∵,
∴方程无实数解,所以假设错误,
在轴上不存在点,使∠MNB=90;
(3) ∵PQ⊥BC,PF⊥OB,
∴,
∴EF∥OC,
∴,
∴△PQE∽△BOC,
得,
∵B(8,0)、C(0,4),
∴,,,
∴,
∴,
∴当PE最大时,最大,
设直线的解析式为,
将B(8,0)、C(0,4)代入得,
解得:,
∴直线的解析式为,
设点P的坐标为 ,
则点E的坐标为,
∴,
∵,
∴当时,有最大值为4,
∴最大值为.
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【题目】华为手机与苹果手机受消费者喜爱,某商户每周都用25000元购进250张华为手机壳和150张苹果手机壳.
(1)商户在第一周销售时,每张华为手机壳的售价比每张苹果手机壳的售价的2倍少10元,且两种手机壳在一周之内全部售完,总盈利为5000元,商户销售苹果手机壳的价格每张多少元?
(2)商户在第二周销售时,受到各种因素的影响,每张华为手机壳的售价比第一周每张华为手机壳的售价增加,但华为手机壳的销售量比第一周华为手机壳的销售量下降了a%;每张苹果手机壳的售价比第一周每张苹果手机壳的售价下降了a%,但苹果手机壳销售量与第一周苹果手机壳销售量相同,结果第二周的总销售额为30000元,求a()的值.
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【题目】已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(2,0),B(5,0),过点D(0,)作y轴的垂线DP交图象于E、F.
(1)求b、c的值和抛物线的顶点M的坐标;
(2)求证:四边形OAFE是平行四边形;
(3)将抛物线向左平移的过程中,抛物线的顶点记为M′,直线DP与抛物线的左交点为E′,连接OM′,OE′,当OE′+OM′的值最小时求直线OE′的解析式.
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【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论: ①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1 ,
其中正确的是________.
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【题目】把两块同样大小的含角的三角板的直角重合并按图1方式放置,点是两块三角板的边与的交点,将三角板绕点按顺时针方向旋转到图2的位置,若,则点所走过的路程是_________.
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【题目】已知:、是圆中的两条弦,连接交于点,点在上,连接,.
(1)如图1,若,求证:弧弧;
(2)如图2,连接,若,求证:;
(3)如图3,在第(2)问的条件下,延长交圆于点,点在上,连接,若,,,求线段的长.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为x=,且经过点(2,0),有下列说法:①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(0,y1),(1,y2)是抛物线上的两点,则y1=y2.上述说法正确的是( )
A.①②④ B.③④ C.①③④ D.①②
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【题目】为了解某中学去年中招体育考试中女生”一分钟跳绳”项目的成绩情况,从中抽取部分女生的成绩,绘制出如图所示的频数分布直方图(从左到右依次为第一组到第六组,每小组含最小值,不含最大值)和扇形统计图,请根据下列统计图中提供的信息解决下列问题
(1)本次抽取的女生总人数为 第六小组人数占总人数的百分比为 请补全频数分布直方图;
(2)题中样本数据的中位数落在第 组内;
(3)若“一分钟跳绳”不低于130次的成绩为优秀,这个学校九年级共有女生560人,请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D是边BC上(不与B,C重合)一动点,∠ADE=∠B=a,DE交AC于点E,下列结论:①AD2=AE.AB;②1.8≤AE<5;⑤当AD=时,△ABD≌△DCE;④△DCE为直角三角形,BD为4或6.25.其中正确的结论是_____.(把你认为正确结论序号都填上)
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