Question

17．如图，点A（-1，m）是双曲线y₁=$\frac{k}{x}$与直线y₂=-x-（k+1）在第二象限的交点，另一个交点C在第四象限，AB⊥x轴于B，且cos∠AOB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
（1）求m的值；
（2）求△AOC的面积；
（3）直接写出使y₁＞y₂成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到OB=1，由cos∠AOB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，得到OA=$\sqrt{10}$，根据勾股定理即可得到结论；
（2）先把两函数的解析式联立组成方程组，求出x、y的值，得出A、C两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）观察图象，根据一次函数与反比例函数的交点坐标即可求出一次函数的值大于反比例函数的值x的取值范围．

解答 解：（1）∵A（-1，m），AB⊥x轴于B，
∴OB=1，
∵cos∠AOB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴OA=$\sqrt{10}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}$=3，
∴A（-1，3），
∴m=3；
（2）∵A（-1，3）是双曲线y₁=$\frac{k}{x}$与直线y₂=-x-（k+1）在第二象限的交点，
∴k=-3，
∴反比例函数的解析式为：y₁=-$\frac{3}{x}$，一次函数的解析式为：y₂=-x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴C（3，-1），
∴△AOC的面积=$\frac{1}{2}×$2×1+$\frac{1}{2}×$2×3=4；
（3）由图象知，y₁＞y₂成立的x的取值范围为：x＜-1或0＜x＜3．

点评 此题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质，求两函数的交点坐标，比较函数值的大小，三角形的面积等知识，能根据△ABO的面积求出k的值是解答此题的关键．