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    如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．

    （1）求AD的长；
    （2）设四边形BFED的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并写出函数自变量取值范围；
    （3）点F、E在运动过程中，如△CEF与△BDC相似，求线段BF的长．
    （4）以BF为半径的圆B与以DE为半径的圆D如果相切，直接写出t的值．
    【答案】分析：（1）利用勾股定理求出BD的长，再利用cos∠ADB=cos∠CBD=进而求出AD的长即可；
    （2）首先用t表示出EH的长以及FC的长，进而利用y=S△BCD-S△CEF得出函数关系即可；
    （3）分别利用①如图3，当∠CEF=90°时，②如图4，当∠CFE=90°时，利用相似三角形的性质求出即可；
    （4）分别利用当两圆相外切或内切，利用外切时圆心距=r+R，内切时圆心距=R-r，得出答案即可．
    解答：解：（1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，
    所以BD=8cm．
    因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD．
    在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD==，
    所以AD=BDcos∠ADB=8×=（cm）．

    （2）如图2，过点E作EH⊥AB，垂足为H．
    在Rt△CEH中，CE=t，sin∠C=，
    所以EH=CE sin∠C=t．
    ∵△BCD的面积为24，
    ∴S△CEF=CF•EH=（10-2t）×t=-t2+4t，
    所以y=S△BCD-S△CEF=24-（-t2+4t）=t2-4t+24（0＜t＜5）；

    （3）①如图3，当∠CEF=90°时，
    ∵BD⊥CD，
    ∴BD∥EF，
    ∴．
    ∴．
    解得．
    此时（cm）．
    ②如图4，当∠CFE=90°时，
    ∵∠C=∠C，∠BDC=∠EFC，
    ∴△EFC∽△BDC，
    ∴．
    所以．
    解得．此时（cm）．

    （4）如图5，当以BF为半径的圆B与以DE为半径的圆D相外切，
    DE=DC-EC=6-t，BF=2t，
    则BD=BF+DE=2t+6-t=8，
    解得：t=2（秒）．
    当以BF为半径的圆B与以DE为半径的圆D相内切，
    DE=DC-EC=6-t，BF=2t，
    则BD=BF-DE=2t-（6-t）=8，
    解得：t=（秒）．
    故当t的值为2秒与秒时，以BF为半径的圆B与以DE为半径的圆D相切．
    点评：此题主要考查了相且两圆的性质以及相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，根据已知画出图象进行分类讨论得出是解题关键．
    练习册系列答案
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    20、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点．将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中阴影所示）．若∠A=130°，AB=4cm，则梯形ABCD的高CD≈
    3.1
    cm．（结果精确到0.1cm）

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    精英家教网如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
    （1）求证：△ACD∽△BAC；
    （2）求DC的长；
    （3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

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    （1998•大连）如图，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，DC⊥BC，且BC=3AD．以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F，交CD于点G、H．过点F引⊙O的切线交BC于点N．
    （1）求证：BN=EN；
    （2）求证：4DH•HC=AB•BF；
    （3）设∠GEC=α．若tan∠ABC=2，求作以tanα、cotα为根的一元二次方程．

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    如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，AB=3a，CD=2a，AD=2，点E、F分别是腰AD、BC上的动点，点G在AB上，且四边形AEFG是矩形．设FG=x，矩形AEFG的面积为y．
    （1）求y与x之间的函数关式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）在腰BC上求一点F，使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍，并求出此时BF的长；
    （3）当∠ABC=60°时，矩形AEFG能否为正方形？若能，求出其边长；若不能，请说明理由．

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    如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．
    （1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
    （2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由．

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