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(2012•乐陵市二模)操作观察:
一个三角形的三条边为a、b、c,其中a=6cm,b+c=10cm,这个三角形面积的最大值是多少?
可以用以下的实验方法:如图
①把一根16cm的细线结成一个环;
②把细线的6cm长的一段拉直,并固定这段线的两端B、C;
③在细线的另一部分上任取一点A,拉动点A,使细线围成△ABC;
④移动点A在细线上的位置,观察△ABC的面积何时最大,求出最大面积.
拓展应用:
(1)一个平行四边形的四条边为a、b、c、d,其中a、b为对边,c、d为对边,且a+b=6cm,c+d=10cm,这个平行四边形面积的最大值是多少?
(2)一个梯形的四条边为a、b、c、d,其中a、b为对边,c、d为对边,且a=8cm,b=2cm,c+d=10cm,这个梯形面积的最大值是多少?
分析:操作观察:不难发现,当b=c时,点A到到BC的距离AD最大,此时△ABC的面积最大,然后利用勾股定理列式求出AD的长,再根据三角形的面积公式列式计算即可得解;
拓展应用:(1)根据平行四边形的对边相等求出a、c,再根据a、c互相垂直时,即平行四边形为矩形时面积最大,然后列式计算即可得解;
(2)根据操作结论,当c、d相等时,梯形的面积最大,然后作辅助线构造出以腰长为斜边的直角三角形,再利用勾股定理列式求出等腰梯形的高,根据梯形的面积公式列式计算即可得解.
解答:操作观察:根据操作,当AB=AC,即b=c=
1
2
×10=5cm时,
BC边上的高AD最长,
此时BD=
1
2
×6=3cm,
AD=
AB2-BD2
=
52-32
=4cm,
△ABC的最大面积=
1
2
×6×4=12cm2

拓展应用:(1)∵a+b=6cm,c+d=10cm,
∴a=
1
2
×6=3cm,c=
1
2
×10=5cm,
当a⊥c时,平行四边形面积的最大,
此时,平行四边形为矩形,最大面积=3×5=15cm2

(2)如图,当c、d相等时,梯形的面积最大,
此时,
1
2
(a-b)=
1
2
(8-2)=3cm,
c=
1
2
×10=5cm,
梯形的高h=
52-32
=4cm,
梯形的最大面积=
1
2
(a+b)•h=
1
2
×(2+8)×4=20cm2
点评:本题是四边形综合题型,读懂题目信息,根据操作,观察出面积最大时的高的位置是解题的关键,也是本题的难点.
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