Question

【题目】如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．

（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AC＝6，OC＝4，求PA的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA＝PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO＝∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO＝90°，进而可得：∠PAO＝90°，进而可证：PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，由AC＝6，OC＝4，可求OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．

（1）证明：如图1，连接OB，则OA＝OB，

∵OP⊥AB，

∴AC＝BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴PA＝PB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO＝∠PAO，PB＝PA，

∵PB为⊙O的切线，B为切点，

∴∠PBO＝90°，

∴∠PAO＝90°，

即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接BE，

∵OC＝4，AC＝6，

∴AB＝12，

在Rt△ACO中，

由勾股定理得：，

，

在Rt△APO中，

∵AC⊥OP，

∴AC2＝OCPC，

解得：PC＝9，

∴OP＝PC+OC＝13，

在Rt△APO中，由勾股定理得：，