Question

19．现有如下一系列图形：

当n=1时，矩形ABCD分为2个直角三角形，总计数出5条边；
当n=2时，矩形ABCD分为8个直角三角形，总计数出16条边；
当n=3时，矩形ABCD分为18个直角三角形，总计数出33条边；
…
用n表示如上规律，并求当n=10时，矩形ABCD应分为多少个直角三角形，总计数出多少条边？

Answer 1

分析 由图形可以看出，第n个图形中，长方形的长被分成了n份，长方形的宽也被分成了n份，所以每个图形中有n×n个小长方形，每个长方形又分成了2个直角三角形，所以第n个图形中有2n²个直角三角形；图形中的边除了最边上哪些外都是由两个三角形边重合形成的，最外边的边有4n条，如果每个三角形边再加上4n就将图形中边加了两遍，所以图形中边为2n（n+1）+n²=3n²+2n条．

解答 解：∵当n=1时，矩形ABCD分为2个直角三角形，总计数出5条边；
当n=2时，矩形ABCD分为8=2×2²个直角三角形，总计数出16=3×2²+2×2条边；
当n=3时，矩形ABCD分为18=2×3²个直角三角形，总计数出33=3×3²+2×3条边；
…
∴第n个图形，矩形ABCD分为2n²个直角三角形，总计数出3n²+2n条边；
当n=10时，矩形ABCD应分为2n²=2×10²=200个直角三角形；总计数出3n²+2n=3×10²+2×10=320条边．

点评 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出计算规律解决问题．