Question

（2006•上海模拟）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=10，BD=24．求菱形的高AE．

Answer 1

分析：法1：根据菱形的对角线互相垂直平分求出OC、OB的长度，再根据勾股定理求出菱形的边BC的长，然后求出△AEC和△BOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可；
法2：根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB、OC的长度，再根据勾股定理求出菱形的边BC的长，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高两种方法列式求解即可．

解答：解：法1：在菱形ABCD中，
∵AC=10，BD=24，
∴OC=

1

2

AC=

1

2

×10=5，OB=

1

2

BD=

1

2

×24=12，
∵AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴BC=

OC2+OB2

=

52+122

=13，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=∠BOC=90°，
又∵∠ACE=∠BCO（菱形的对角线平分一组对角），
∴△AEC∽△BOC，
∴

AE

OB

=

AC

BC

，
即

AE

12

=

10

13

，
解得AE=

120

13

；

法2：在菱形ABCD中，
∵AC=10，BD=24，
∴OC=

1

2

AC=

1

2

×10=5，OB=

1

2

BD=

1

2

×24=12，
∵AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴BC=

OC2+OB2

=

52+122

=13，
∴CD=BC=13，
S_菱形ABCD=CD•AE=

1

2

AC•BD，
即13AE=

1

2

×10×24，
解得AE=

120

13

．

点评：本题考查了菱形的性质，主要涉及到菱形的对角线互相垂直平分，菱形的对角线平分一组对角，以及菱形的面积的求解，熟练掌握并灵活运用菱形的性质是解题的关键．