Question

（2004•海淀区）已知：关于x的一元二次方程ax²+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m．
（1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c=时，m≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a、c的值分别代入ax²+2ax+c=0，①求出方程的根以及两个实数根之差的平方，判断m的值；②根据根与系数的关系求出m的值的取值范围．
（2）先根据一元二次方程的根与系数的关系，表述出两根的和与两根的差，即可用a，c表示出m的值，依据对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，即可确定c和m的值．
解答：解：（1）当a=1，c=-3时，m≥4成立；
当a=2，c=时，m≥4不成立；
当a=1，c=-3时，原方程为x²+2x-3=0，则x₁=1，x₂=-3，
∴m=[1-（-3）]²=16＞4，
即m≥4成立．
当a=2，c=时，原方程为2x²+4x+=0．
由△=4²-4×2×＞0，可设方程的两个根分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-2，x₁•x₂=，
∴m=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4-2＜4，
即m≥4不成立．
（2）依题意，设原方程的两个实数根是x₁，x₂，
则x₁+x₂=-2，x₁•x₂=，
可得m=（x₁-x₂）²=4-．
∵对于任意一个非零的实数a都有4-≥4，
∴c=0．
当c=0时，△=4a²＞0，
答：c=0，m=4．
点评：此题具有一定的开放性，结合根的判别式与根与系数的关系，考查了同学们利用不等关系推理特殊值的能力．