Question

在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=3.6cm（如图1）．动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t（s）时，△BPQ的面积为y（cm²）（如图2）．分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN．

（1）分别求出梯形中BA，AD的长度；
（2）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象．
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将梯形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由于点P在AD运动时，点Q在C点，利用函数图象和三角形面积公式得到

1

2

×BC×3.6=10.8，解得BC=6，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C，所以AB=BC=6，作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，利用勾股计算出BH，则可求出CH的长，即可得出AD的长度．
（2）分类讨论：①当点P在BA上时，根据三角形面积公式得到y=

3

10

t²②当点P在DC上时，y=-3t+32.4．
（3）分类讨论：当0≤t≤6，利用S_△BPQ=

1

6

S_梯形ABCD及S_△BPQ=

5

6

S_梯形ABCD，求出时间t

解答：解：（1）点P在AD边上从A到D运动时，点Q在C点，
根据函数图象得到S_△PBQ=

1

2

•BC•CD=10.8，
∴

1

2

×BC×3.6=10.8，
∴BC=6，
∵当点P到达点A时，点Q正好到达点C，
∴AB=BC=6，
如图1，作AH⊥BC于H，

在Rt△ABH中，AB=6，AH=CD=3.6，BH=

AB2-AH2

=

62-3．62

=4.8，
∴CH=BC-BH=6-4.8=1.2，
∴AD=1.2，
即BA，AD的长度分别为6cm，1.2cm；
（2）①当点P在BA上时，y=

1

2

•t•t•sinB=

1

2

•t²•

3.6

6

=

3

10

t²（0≤t≤6）；
②当点P在DC上时，y=

1

2

×6×（6+1.2+3.6-t）=-3t+32.4（7.2≤t≤10.8）；
如图3补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象；

（3）存在．
当0≤t≤6，
若S_△BPQ=

1

6

S_梯形ABCD，则

3

10

t²=

1

6

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=

6 5

5

，
若S_△BPQ=

5

6

S_梯形ABCD，则

3

10

t²=

5

6

×

1

2

×（1.2+6）×3.6，解得t=6，
所以t的值为

6 5

5

或6．

点评：本题考查了四边形的综合题，涉及梯形的性质，二次函数及一次函数的知识，能够正确的理解分段函数的意义是解答此题的关键．